• 元素定义：
  • 旋转轴为$\vec{k}$,注意$\vec{k}$是单位向量
  • $\vec{v}$是将要旋转的向量，$\vec{v_{rot}}$是旋转后的结果
  • θ是旋转角度
  • $\vec{v}$、$\vec{k}$ 相互垂直，根据右手螺旋定则可得 y轴就是$\vec{k}$$\times$$\vec{v}$

• 公式：$\vec{v_{rot}}$​​ =$\cos\theta$ · $\vec{v}$ + $\sin\theta$· $\vec{k}$$\times$$\vec{v}$ ;
  • 推导过程：
    • 因为垂直，所以可以忽略一个坐标轴，我们只要算xy平面
    • 分解$\vec{v_{rot}}$⟹ 在x,y轴的分量，易得他们是$\cos\theta$$\vec{v}$和$\sin\theta$$\vec{k}$$\times$$\vec{v}$；$\vec{v_{rot}}$就是他们的和。

• 核心思路：把向量分解成平行于旋转轴的$\vec{v_{||}}$​​，和垂直于旋转轴的$\vec{v_{\perp}}$

• 结论：$\vec{v_{rot}}$=$\cos\theta$· $\vec{v}$ + (1 – $\cos\theta$ ) · $\vec{v}$ ·$\vec{k}$ · $\vec{k}$+ $\sin\theta$ $\vec{k}$$\times$$\vec{v}$ = $\vec{v_{||}}$​​ + $\vec{v_{\perp}}$​​’;
• 先求$\vec{v_{||}}$​​ ，旋转后他不会改变
  • $\vec{v_{||}}$​​ =| $\vec{v}$ | · $\cos{< \vec{k},\vec{v}>}$ · $\vec{k}$ ，因为 $\vec{v}$ · $\vec{k}$ =|$\vec{v}$|·|$\vec{k}$|·$\cos{< \vec{k},\vec{v}>}$ ；|$\vec{k}$ |==1 ，所以 $\vec{v_{||}}$​​ =$\vec{v}$ · $\vec{k}$ · $\vec{k}$;
    | $\vec{v}$ | · $\cos{< \vec{k},\vec{v}>}$是标量，后面的$\vec{k}$制定了方向
• 再求$\vec{v_{\perp}}$​​ =$\vec{v}$ – $\vec{v_{||}}$​​ =$\vec{v}$ – $\vec{v}$ · $\vec{k}$ · $\vec{k}$ ；
• 然后！ $\vec{v_{\perp}}$​​’ 的值就用垂直情况的公式：$\vec{v_{rot}}$ =$\cos\theta$​​​​​​​​​​ · $\vec{v}$​​​​​​​ +$\sin\theta$​​​​​​​​​​ · ($\vec{k}$​​​ $\times$​​​​​​ $\vec{v}$​​​​​​​) ;将 $\vec{v_{\perp}}$代入公式中的$\vec{v}$
  • $\vec{v_{\perp}}$​​’ = $cos\theta ·\vec{v}$ –$\cos\theta$ · $\vec{v}$ · $\vec{v}$ · $\vec{k}$ + $\sin\theta$ · ($\vec{k}$ $\times$$\vec{v_{\perp}}$)= $cos\theta·\vec{v}$ –$\cos\theta$ · $\vec{v}$ · $\vec{k}$ · $\vec{k}$ + $\sin\theta$ ·( $\vec{k}$ $\times$$\vec{v}$)
    • $\sin90^\circ$ =1 ,$\vec{k}$ $\times$$\vec{v_{\perp}}$​​= $\vec{k}$$\times$$\vec{v}$的推导:
      $\vec{k}$$\times$$\vec{v}$ = $\vec{k}$$\times$( $\vec{v_{||}}$​​ + $\vec{v_{\perp}}$​​)= $\vec{k}$$\times$$\vec{v_{||}}$​​ + $\vec{k}$$\times$$\vec{v_{\perp}}$ 。$\vec{k}$$\times$$\vec{v_{||}}$​​ =0

• $\vec{v}_{rot}$=$\cos\theta$ · $\vec{v}$ + (1 – $\cos\theta$ ) · $\vec{v^{T}}$ · $\vec{k}$ · $\vec{k}$ + $\sin\theta$ ( $\vec{k}$$\times$$\vec{v}$)
  注意矩阵要用向量的转置
• 求 $\vec{v_{rot}}$​​ =R · $\vec{v}$ 的R矩阵
  • 观察矩阵，公因数是$\vec{v}$ ,想办法把它提出来。
    • 点乘符合交换律⟹ $\vec{v^{T}}$ · $\vec{k}$ · $\vec{k}$ = $\vec{k}$ · $\vec{k^{T}}$ · $\vec{v}$
    • 利用叉乘的性质，叉乘变换成点乘 $\sin\theta$ ( $\vec{k}$$\times$$\vec{v}$)
      • 如果有 $\vec{a}$=[$a_{1}$​,$a_{2}$​,$a_{3}$​] , $\vec{b}$=[$b_{1}$​,$b_{2}$​$b_{3}$​] ,三维坐标轴$\vec{i}$ $\vec{j}$ $\vec{k}$
        • $\vec{a}$ = $a_{1}$​ · $\vec{i}$ + $a_{2}$​ · $\vec{j}$​ + $a_{3}$​ · $\vec{k}$ ; $\vec{b}$ = $b_{1}$​ · $\vec{i}$ +$b_{2}$​ · $\vec{j}$+ $b_{3}$ · $\vec{k}$
        • $\vec{a}$× $\vec{b}$ = ( $a_{2}$ $b_{3}$​ – $a_{3}$$b_{2}$ ) · $\vec{i}$ + ( $a_{3}$$b_{1}$​ – $a_{1}$$b_{3}$​ ) · $\vec{j}$​ + ( $a_{1}$​$b_{2}$​ – $a_{2}$$b_{1}$​ ) · $\vec{k}$ 写成矩阵
        • 可推出$\vec{a}$$\times$$\vec{b}$ =R · $\vec{b}$ ,R= $[a]_{X}$ 向量a的叉乘矩阵

• 带入 $\vec{k}$$\times$$\vec{v}$ 得到 $[k]_{X}$​ · $\vec{v}$
• 总结，把$\vec{v}$提出来 R=$\cos\theta$ · $I_{3\times3}$​ + (1 – $\cos\theta$) · $\vec{k^{T}}$ · $\vec{k}$ + $\sin\theta$ · $[k]_{X}$

注意要对axis进行归一化，注意矩阵乘法的维度对应。